定积分计算公式大全二十四个(五行积分曲线)
定积分是微积分中的重要概念之一，用于计算曲线下方的面积、求解曲线表达式的弧长、质心等问题。在现实操作中，我们经常需要用到样式不一的定积分计算公式。本文将为各位介绍二十四个常常见到的定积分计算公式。
1、曲线下方的面积公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的面积$S$可以 使用定积分预示：
$$S=\int_a^bf(x)dx$$
2、平面图形的面积公式：
设闭区间$[a，b]$上的连续函数$f(x)$和$g(x)$满足$f(x)\geqg(x)$，则两曲线所围成的平面图形的面积$S$可以 使用定积分预示：
$$S=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx$$
3、弧长公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上具有连续导数，则曲线$y=f(x)$从点$(a，f(a))$到点$(b，f(b))$的弧长$L$可以 使用定积分预示：
$$L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$
4、质心横坐标公式：
设连续函数$f(x)$在区间$[a，b]$上有界，曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的质心横坐标为$\bar{x}$，则$\bar{x}$可以 使用定积分预示：
$$\bar{x}=\frac{1}{{S}}\int_a^bx\cdotf(x)dx$$
5、质心纵坐标公式：
设连续函数$f(x)$在区间$[a，b]$上有界，曲线$y=f(x)$与$x$轴所围成的平面图形的质心纵坐标为$\bar{y}$，则$\bar{y}$可以 使用定积分预示：
$$\bar{y}=\frac{2}{{S}}\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$
6、体积公式：
设$x=a$和$x=b$是曲线$y=f(x)$与$x$轴的两个交点，其中$a
$$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$$
7、旋转体的表面积公式：
设$x=a$和$x=b$是曲线$y=f(x)$与$x$轴的两个交点，其中$a
$$A=2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$
8、长度公式：
设函数$f(x)$在闭区间$[a，b]$上具有连续导数，则曲线$y=f(x)$的长度$L$可以 使用定积分预示：
$$L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$$
9、反常积分求解公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，+\infty)$上连续，则反常积分（无限积分）可以预示为极限形式：
$$\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$$
10、二重积分求解公式：
设$f(x，y)$在有界区域$D$上连续，则二重积分可以预示为累次积分的形式：
$$\iint_Df(x，y)dxdy=\int_{y=c}^{y=d}\left[\int_{x=a}^{x=b}f(x，y)dxdy\right]dy$$
11、柱坐标系下的二重积分求解公式：
设函数$f(r，\theta)$在极坐标下连续，且有界，则柱坐标系下的二重积分可以预示为：
$$\iint_Df(r，\theta)rdrd\theta$$
12、球坐标系下的三重积分求解公式：
设函数$f(r，\theta，\phi)$在球坐标下连续，且有界，则球坐标系下的三重积分可以预示为：
$$\iiint_Vf(r，\theta，\phi)r^2sin\phidrd\thetad\phi$$
13、牛顿—莱布尼茨公式：
设函数$F(x)$是$f(x)$在区间$[a，b]$上的一个原函数，则定积分可以预示为：
$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$
14、分部积分公式：
设$u(x)$和$v(x)$是可导函数，则定积分可以预示为分部积分的形式：
$$\int_a^bu(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^bv(x)u'(x)dx$$
15、换元积分公式：
设$x=\phi(t)$是单调可导函数，且$\phi'(t)$在区间$[\alpha，\beta]$上连续，则定积分可以预示为换元积分的形式：
$$\int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f[\phi(t)]\phi'(t)dt$$
16、对称性质公式：
设函数$f(x)$在区间$[-a，a]$上连续，则定积分可以预示为对称性质的形式：
$$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$$
17、用反射性简化计算公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则定积分可以预示为反射性简化计算的形式：
$$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^b\left[f(x)+f(b-x)\right]dx$$
18、用奇偶性简化计算公式：
设函数$f(x)$在区间$[-a，a]$上连续，且满足奇偶性质，则定积分可以预示为奇偶性简化计算的形式：
$$\int_{-a}^af(x)dx=\begin{cases}
\int_{-a}^af(x)dx，&\text{if$f(x)$iseven}，\\
0，&\text{if$f(x)$isodd}。
\end{cases}$$
19、平均值定理公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则函数在该区间上的平均值$\bar{f}$可以 使用定积分预示：
$$\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$
20。积分中值定理公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则存在一点$c\in(a，b)$，使得定积分可以预示为：
$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$
21、积分上下界估计公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续且单调递增（递减），则定积分可以由上（下）界估计：
$$S_1=\int_a^bf(x)dx\leq\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)\Deltax$$
$$S_2=\int_a^bf(x)dx\geq\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax$$
22、积分的可加性公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则定积分具有可加性：
$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$
23、积分的线性性质公式：
设函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a，b]$上连续，$c$为常数，则定积分具有线性性质：
$$\int_a^b[cf(x)+g(x)]dx=c\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$$
二十四。积分的区间可加性公式：
设函数$f(x)$在区间$[a，b]$上连续，则积分的区间可加性公式为：
$$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$
以上介绍了二十四个常常见到的定积分计算公式，这几个公式涵盖了定积分的多个应用范畴，可以帮助我们更便捷地解决各式与曲线面积、弧长、质心、体积、表面积等相关的问题。在现实操作中，依据具体问题选择合适的公式，能够提高计算效率和准确度。
