相关剖析与回归剖析的关系夫妻误差平方和(对新教材中线性回归方程的三个误差值的理解)
相关剖析是统计学中一种用以研究两个或多个变量之间关系的方式方法，而回归剖析是在建立这种关系的基础上，通过建立数学模型进行预测推算和解释的方式方法。
相关剖析通过计算相关系数来衡量两个变量之间的关联程度，相关系数的取值范围是-1到一、当相关系数接近于1时，预示变量之间呈正相关；当相关系数接近于-1时，预示变量之间呈负相关；当相关系数接近于0时，预示变量之间没有线性相关关系。
回归剖析是在相关剖析的基础上，通过建立回归模型来描述和预测推算变量之间的联系。其中，线性回归是回归剖析中最简单和常用的方式方法之一。线性回归模型通过拟合一条直线来描述两个变量之间的联系，直线的斜率预示两个变量之间的变化程度。
在新教材中，线性回归方程的三个误差值指的是回归模型中的误差项。回归模型基于线性假设，即假设两个变量之间的联系是线性的。不过，从实际情况中，常常存在一些随机因素致使回归模型的预测推算值与实际观测值存在差别，这便是误差。误差项包括观测误差、估计误差和模型误差三个部分。
观测误差是因为测量误差或观测误差引起的，它预示的是对变量的测量或观测不准确造成的误差。估计误差是因为对回归模型参数的估计不准确引起的，它预示回归模型的参数估计值与真实值之间的差别。模型误差是因为建立的回归模型无法完全描述两个变量之间的联系引起的，它预示回归模型无法解释的随机性部分。
对这三个误差值的理解对于回归剖析的结果解释和预测推算具有重要意义。观测误差和估计误差会作用与影响到回归模型的拟合程度和参数估计的准确性，因此需要谨慎考虑。而模型误差也许会与变量之间的别的因素有关，经过对模型误差的剖析，可以探究这几个未被建模的作用与影响因素。
总的来说，相关剖析和回归剖析是统计学中两种不一样但相关的方式方法，二者互相依存。而线性回归方程的三个误差值则对于回归剖析的结果解释和预测推算具有重要意义，需要去综合考虑。
来源头条作者:鲁国公子曹从近期考到的一道题入手：新教材中对回归方程的内容重新做了修订，相对于老教材，新教材对内容和概念的要求更高一些，在理解的要求上有些许的提高，今天把新教材中有关线性回归模型的内容做一次解释。先说上题，决定系数又称判定系数，R²的效果是对回归直线方程拟合程度的剖析，R²越大，拟合度越好，其中决定变量R²=r²，即决定变量等于样本的相关系数，本题中去掉B点后样本的相关性变强，R²也越大；对于C选项，去掉B点后样本被解释变量的残差变小，残差平方和也变小。研究两个变量之间的相关关系主要从两个方向进行，一是进行相关剖析，即量化变量之间相关的程度，学习时用样本的相关系数r来进行量化：另外一个方向就是回归剖析，以广告投入费用和销售额为例，随着广告投入费用的增添，销售额也呈上升趋势，销售额的观察结果y是由两部分叠加成的，一部分是由广告投入的线性函数引起的，记作a+bx，另一部分是由随机因素引起的，记作e，所以y=a+bx+e若两个变量呈现线性关系，则可用最小二乘法求解回归直线方程，书上有证明的过程，利用残差平方和最小求解a，b的值。这里要区分开观测值和预测推算值，通过回归方程求得的都是预测推算值，观察值与预测推算值的差即为残差，接着下面剖析三个常常见到的误差平方和。依旧以上述广告投入和销售额的关系解释，要是没有广告投入这一项，只有销售额，假如依照月份作出销售额的散点图，若想找出一条拟合直线，即让这条直线满足观测值和预测推算值差e最小，由于没有其他变量，此时的预测推算值只能是一个常数，即^y=y的平均值，此时观测值与平均值差的平方和记作总平方差。若引入一个参数，例如广告投入量x，就能够用x的变化来模拟y的变化，原本的预测推算值就不再是y的平均值，此时^y≠y的平均值，同理若要满足观测值和预测推算值差e最小，则y-^y最小，而这个平方和叫做残差平方和。总平方和有什么含义？即没有引入变量时但从销售额角度剖析得到的误差平方和；残差平方和有什么含义？即引入变量x后在使用最小二乘法优化之后残留的误差平方和，所以误差平方和减去残差平方和即预示引入变量x之后可以消除的误差，这个差值称之为回归平方和，从上述理解能看见回归平方和的意义是引入x变量消除误差之后剩余的能对自变量解释的部分，即被回归方程解释的部分，因此又叫做解释平方差。高中阶段的考题更加的多与残差平方和有关，理解残差平方和与回归平方和的关系即可，深层次内容无需深究。所以SST-SSE这部分占SST越大，说明引入新变量x之后对误差的减少效应越强，即回归方程的拟合度越好，当这个比值接近1时，说明新加入的x会大大减少预测推算值的误差，当比值接近于零的时刻，说明新加入的x对误差的消除效应几乎为零，可看做回归方程的拟合程度非常差。因此书上用这个比值变量x对变量y的解释能力，将这个比值命名为判定系数，新课本上改名为可决系数或决定系数，即R²=SSR/SST因此可知，R²越大，残差平方和越小，被回归方程解释的部分越大，拟合度越好最后可决系数和相关系数的关系：R²=r²，即可决系数等于相关系数的平方考试的时刻不会让求可决系数，但有可能求相关系数，通过两者的关系即可通过r求可决系数了。书本上除了一元线性回归方程，还有一元非线性回归方程的求法，其实也就是说就多了一步换元，有关一元非线性回归方程的求解可参考链接：统计与概率大题中的回归方程问题
